حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + y \sec (x) = \tan (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $y \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\sec (x)) = \tan (x)$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \sec (x) y = \tan (x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \sec (x) d x}$

خطوة 2.2

تكامل $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (\sec (x) + \tan (x))}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sec (x) + \tan (x)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\sec (x) + \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\sec (x) + \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

خطوة 3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\sec (x) y) + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

خطوة 3.2.3

اضرب $\sec (x) (\sec (x) y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

خطوة 3.2.3.2

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

خطوة 3.2.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + {\sec (x)}^{1 + 1} y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

خطوة 3.2.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) (\sec (x) y) = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = (\sec (x) + \tan (x)) \tan (x)$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \tan (x)$

خطوة 3.4

اضرب $\tan (x) \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x)$

خطوة 3.4.2

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)$

خطوة 3.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1}$

خطوة 3.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب العوامل في $\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) y + \tan (x) \sec (x) y = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + y \sec^{2} (x) + y \tan (x) \sec (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

خطوة 7.2

بما أن مشتق $\sec (x)$ هو $\sec (x) \tan (x)$ ، إذن تكامل $\sec (x) \tan (x)$ هو $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int \tan^{2} (x) d x$

خطوة 7.3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

خطوة 7.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 7.5

طبّق قاعدة الثابت.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 7.6

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \tan (x) + C$

خطوة 7.7

بسّط.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ على $\sec (x) + \tan (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ على $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (x) + \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

خطوة 8.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\sec (x) - x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

خطوة 8.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

خطوة 8.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x) + C}{\sec (x) + \tan (x)}$