حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}} = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط $\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{3} - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y - y^{2}} = 0$

خطوة 1.1.1.1.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y + y^{2} \cdot - 1} = 0$

خطوة 1.1.1.1.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} y + y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.2

لكتابة $\frac{d y}{d x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(y - 1) y^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

اجمع $\frac{d y}{d x}$ و $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(y - 1) y^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{y^{2} (y - 1)} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2}) + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot - 1) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.5.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - 1 \cdot \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.5.3

أعِد كتابة $- 1 \frac{d y}{d x}$ بالصيغة $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{d y}{d x} y \cdot y^{2} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.5.5

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.5.1

انقُل $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.5.5.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.5.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y^{1}) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.5.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2 + 1} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.1.5.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25 = 0$

خطوة 1.1.3

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + 25 = - x^{2}$

خطوة 1.1.3.1.2

اطرح $25$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

خطوة 1.1.3.2

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x} y^{2}$ من $\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x} y^{2}$ من $\frac{d y}{d x} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} y - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

خطوة 1.1.3.2.2

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x} y^{2}$ من $- \frac{d y}{d x} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1 = - x^{2} - 25$

خطوة 1.1.3.2.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x} y^{2}$ من $\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$

خطوة 1.1.3.3

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ على $y^{2} (y - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ على $y^{2} (y - 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.1.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.1.3.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.1.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.1.3.3.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.1.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.1.3.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

خطوة 1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $y^{2} (y - 1)$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - y^{2} (y - 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} (y - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $y^{2} (y - 1)$ من $- y^{2} (y - 1)$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) \cdot - 1 \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 25)$

خطوة 1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 25$

خطوة 1.4.4

اضرب $- 1$ في $25$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 25$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} (y - 1) d y = (- x^{2} - 25) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} (y - 1) d y = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $y^{2} (y - 1)$ .

$\int y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\int y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.2.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.2.2.1.2

أضف $2$ و $1$ .

$\int y^{3} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\int y^{3} - 1 \cdot y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة $- 1 y^{2}$ بالصيغة $- y^{2}$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.2.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.2.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - \int y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.2.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} - 25 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} d x + \int - 25 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \int x^{2} d x + \int - 25 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 25 d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + K$