حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = {(64 x y)}^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $64 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = {(64 x)}^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $64 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 64^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $4^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = 4^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = 4^{1} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.3.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أخرِج العامل $y^{\frac{1}{3}}$ من $x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

انقُل $y^{\frac{1}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

خطوة 2.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

خطوة 2.2.1.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{3}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

خطوة 2.2.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int y^{- \frac{1}{3}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- \frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 \int x^{\frac{1}{3}} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2})$ بالصيغة $4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $4$ و $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{12}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.3.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 3 x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} = 3 x^{\frac{4}{3}} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

اجمع.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

خطوة 3.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

خطوة 3.2.1.1.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

خطوة 3.2.1.1.6

اقسِم $y^{\frac{2}{3}}$ على $1$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $\frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{3} K$

خطوة 3.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{\frac{4}{3}}$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 (x^{\frac{4}{3}})) + \frac{2}{3} K$

خطوة 3.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{3} K$

خطوة 3.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{\frac{2}{3}} = 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3} K$

خطوة 3.2.2.1.3

اجمع $\frac{2}{3}$ و $K$ .

$y^{\frac{2}{3}} = 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3}$

خطوة 3.3

ارفع كل متعادل إلى القوة $\frac{3}{2}$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.4.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.4.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.4.1.2

بسّط.

$y = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + K)}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + K)}^{\frac{3}{2}}$