حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{y}$ , $y (- 1) = - 2$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = 6 x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int 6 x^{2} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ بالصيغة $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = 2 x^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (2 x^{3} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (2 x^{3} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (2 x^{3}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{2} = 4 x^{3} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{4 x^{3} + 2 K}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

خطوة 4

بما أن $y$ يساوي قيمة سالبة في الشرط الابتدائي $(- 1, - 2)$ ، انظر فقط $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $- 1$ عن $x$ وبـ $- 2$ عن $y$ .

$- 2 = - \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$ .

$- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$

خطوة 5.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$ في صورة ${(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط ${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

${(- {(2 (2 \cdot - 1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

${(- {(2 (- 2 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

${(- {(2 \cdot - 2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.2.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

${(- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.2.4

اضرب ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ في $1$ .

${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.2.5

اضرب الأُسس في ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.2.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(- 4 + 2 K)}^{1} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3

بسّط.

$- 4 + 2 K = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$- 4 + 2 K = 4$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$2 K = 4 + 4$

خطوة 5.4.1.2

أضف $4$ و $4$ .

$2 K = 8$

خطوة 5.4.2

اقسِم كل حد في $2 K = 8$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اقسِم كل حد في $2 K = 8$ على $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

خطوة 5.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

خطوة 5.4.2.2.1.2

اقسِم $K$ على $1$ .

$K = \frac{8}{2}$

خطوة 5.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

اقسِم $8$ على $2$ .

$K = 4$

خطوة 6

عوّض بـ $4$ عن $K$ في $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $4$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 4)}$

خطوة 6.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3}$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3}) + 4)}$

خطوة 6.2.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 2 \cdot 2)}$

خطوة 6.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3} + 2 \cdot 2$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3} + 2))}$

$y = - \sqrt{2 \cdot 2 (x^{3} + 2)}$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $2$ .

$y = - \sqrt{4 (x^{3} + 2)}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = - \sqrt{2^{2} (x^{3} + 2)}$

خطوة 6.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = - (2 \sqrt{x^{3} + 2})$

خطوة 6.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = - 2 \sqrt{x^{3} + 2}$