حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} - \frac{5}{t} \cdot y = t^{5}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = - \frac{5}{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{5}{t} d t}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $- \frac{5}{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{5}{t} d t}$

خطوة 1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$e^{- (5 \int \frac{1}{t} d t)}$

خطوة 1.2.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{t} d t}$

خطوة 1.2.4

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| t |) + C)}$

خطوة 1.2.5

بسّط.

$e^{- 5 \ln (| t |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 5 \ln (t)}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (t^{- 5})}$

خطوة 1.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$t^{- 5}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{5}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{t^{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{1}{t^{5}} \frac{d y}{d t} + \frac{1}{t^{5}} (- \frac{5}{t} \cdot y) = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{t^{5}}$ و $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} + \frac{1}{t^{5}} (- \frac{5}{t} \cdot y) = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

خطوة 2.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{1}{t^{5}} (\frac{5}{t} y) = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{5}{t}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{1}{t^{5}} \cdot \frac{5 y}{t} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

خطوة 2.2.4

اضرب $- \frac{1}{t^{5}} \cdot \frac{5 y}{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $\frac{5 y}{t}$ في $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t \cdot t^{5}} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $t$ في $t^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اضرب $t$ في $t^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t^{1} t^{5}} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

خطوة 2.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t^{1 + 5}} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

خطوة 2.2.4.2.2

أضف $1$ و $5$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t^{6}} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t^{6}} = \frac{1}{t^{5}} t^{5}$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{5}} - \frac{5 y}{t^{6}} = 1$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{5}} y] = 1$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{5}} y] d t = \int d t$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{t^{5}} y = \int d t$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{t^{5}} y = t + C$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{t^{5}}$ و $y$ .

$\frac{y}{t^{5}} = t + C$

خطوة 7.2

اضرب كلا الطرفين في $t^{5}$ .

$\frac{y}{t^{5}} t^{5} = (t + C) t^{5}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{t^{5}} t^{5} = (t + C) t^{5}$

خطوة 7.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (t + C) t^{5}$

خطوة 7.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

بسّط $(t + C) t^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = t \cdot t^{5} + C t^{5}$

خطوة 7.3.2.1.2

اضرب $t$ في $t^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.2.1

اضرب $t$ في $t^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.2.1.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$y = t^{1} t^{5} + C t^{5}$

خطوة 7.3.2.1.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = t^{1 + 5} + C t^{5}$

خطوة 7.3.2.1.2.2

أضف $1$ و $5$ .

$y = t^{6} + C t^{5}$

خطوة 7.3.2.1.3

أعِد ترتيب $t^{6}$ و $C t^{5}$ .

$y = C t^{5} + t^{6}$