حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d A}{d t} + \frac{A}{100} = 6$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $\frac{A}{100}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d A}{d t} = 6 - \frac{A}{100}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{6 - \frac{A}{100}}$ .

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} (6 - \frac{A}{100})$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $6 - \frac{A}{100}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} (6 - \frac{A}{100})$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} \frac{d A}{d t} = 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{6 - \frac{A}{100}} d A = 1 d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{6 - \frac{A}{100}} d A = \int d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 6 - \frac{A}{100}$ . إذن $d u = - \frac{1}{100} d A$ ، لذا $- 100 d u = d A$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 6 - \frac{A}{100}$ . أوجِد $\frac{d u}{d A}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $6 - \frac{A}{100}$ .

$\frac{d}{d A} [6 - \frac{A}{100}]$

خطوة 2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 - \frac{A}{100}$ بالنسبة إلى $A$ هو $\frac{d}{d A} [6] + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$ .

$\frac{d}{d A} [6] + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$

خطوة 2.2.1.1.2.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $A$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $A$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d A} [- \frac{A}{100}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $- \frac{1}{100}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $A$ ، إذن مشتق $- \frac{A}{100}$ بالنسبة إلى $A$ يساوي $- \frac{1}{100} \frac{d}{d A} [A]$ .

$0 - \frac{1}{100} \frac{d}{d A} [A]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ هو $n A^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{100} \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - \frac{1}{100}$

خطوة 2.2.1.1.4

اطرح $\frac{1}{100}$ من $0$ .

$- \frac{1}{100}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{100}} d u = \int d t$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{100}} d u = \int d t$

خطوة 2.2.2.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{100}} d u = \int d t$

خطوة 2.2.2.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{100}$ .

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 100) d u = \int d t$

خطوة 2.2.2.4

اضرب $100$ في $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 100 d u = \int d t$

خطوة 2.2.2.5

اضرب $100$ في $- 1$ .

$\int - 100 \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.2.6

اجمع $- 100$ و $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 100}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{100}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{100}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.4

بما أن $100$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $100$ خارج التكامل.

$- (100 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

خطوة 2.2.5

اضرب $100$ في $- 1$ .

$- 100 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

خطوة 2.2.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- 100 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$- 100 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 - \frac{A}{100}$ .

$- 100 \ln (| 6 - \frac{A}{100} |) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.2.9

أعِد ترتيب الحدود.

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) + C_{1} = t + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$ على $- 100$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = t + C$ على $- 100$ .

$\frac{- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)}{- 100} = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 100 \ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)}{- 100} = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

خطوة 3.1.2.1.2

اقسِم $\ln (| 6 - \frac{1}{100} A |)$ على $1$ .

$\ln (| 6 - \frac{1}{100} A |) = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

خطوة 3.1.2.2

اجمع $A$ و $\frac{1}{100}$ .

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = \frac{t}{- 100} + \frac{C}{- 100}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} + \frac{C}{- 100}$

خطوة 3.1.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} - \frac{C}{100}$

خطوة 3.2

لإيجاد قيمة $A$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 6 - \frac{A}{100} |)} = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\ln (| 6 - \frac{A}{100} |) = - \frac{t}{100} - \frac{C}{100}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} = | 6 - \frac{A}{100} |$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 6 - \frac{A}{100} | = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$ .

$| 6 - \frac{A}{100} | = e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

خطوة 3.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$6 - \frac{A}{100} = \pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}$

خطوة 3.4.3

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{A}{100} = \pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6$

خطوة 3.4.4

اضرب كلا المتعادلين في $- 100$ .

$- 100 (- \frac{A}{100}) = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

خطوة 3.4.5

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1

بسّط $- 100 (- \frac{A}{100})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{A}{100}$ إلى بسط الكسر.

$- 100 \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

خطوة 3.4.5.1.1.1.2

أخرِج العامل $100$ من $- 100$ .

$100 (- 1) \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

خطوة 3.4.5.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$100 \cdot - 1 \frac{- A}{100} = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

خطوة 3.4.5.1.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

خطوة 3.4.5.1.1.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

خطوة 3.4.5.1.1.2.2

اضرب $A$ في $1$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$

خطوة 3.4.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.2.1

بسّط $- 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}} - 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}) - 100 \cdot - 6$

خطوة 3.4.5.2.1.2

اضرب $- 100$ في $- 6$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} - \frac{C}{100}}) + 600$

خطوة 3.4.6

أعِد ترتيب $- \frac{t}{100}$ و $- \frac{C}{100}$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{C}{100} - \frac{t}{100}}) + 600$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$A = - 100 (\pm e^{C - \frac{t}{100}}) + 600$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100} + C}) + 600$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $e^{- \frac{t}{100} + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{t}{100}} e^{C}$ .

$A = - 100 (\pm e^{- \frac{t}{100}} e^{C}) + 600$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب $e^{- \frac{t}{100}}$ و $e^{C}$ .

$A = - 100 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{100}}) + 600$

خطوة 4.5

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$A = - 100 (C e^{- \frac{t}{100}}) + 600$