حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 e^{- x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 e^{- x}$ على $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $y$ من $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم $x + 2$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$2$

خطوة 2.2.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

خطوة 2.2.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

خطوة 2.2.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

خطوة 2.2.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

خطوة 2.2.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2.4

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.2.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.4.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x + \ln (x + 1)}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{x + 2}{x + 1}$ و $y$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 3.2.2

اجمع $e^{x + \ln (x + 1)}$ و $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 3.3

لكتابة $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $e^{x + \ln (x + 1)}$ من $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

أخرِج العامل $e^{x + \ln (x + 1)}$ من $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 3.5.1.2

أخرِج العامل $e^{x + \ln (x + 1)}$ من $e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 3.5.1.3

أخرِج العامل $e^{x + \ln (x + 1)}$ من $e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 3.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 3.5.3

اضرب $\frac{d y}{d x}$ في $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 3.5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

خطوة 3.6

اضرب $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اجمع $e^{x + \ln (x + 1)}$ و $\frac{2 e^{- x}}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 e^{- x})}{x + 1}$

خطوة 3.6.2

اضرب $e^{x + \ln (x + 1)}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

انقُل $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

خطوة 3.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

خطوة 3.6.2.3

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

خطوة 3.6.2.4

أضف $0$ و $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

خطوة 3.7

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2}{x + 1}$

خطوة 3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2}{x + 1}$

خطوة 3.8.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$

خطوة 3.9

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 d x$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$ على $e^{x + \ln (x + 1)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$ على $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$