حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x$ , $y (0) = 1$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 x d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int x d x}$

خطوة 1.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{1 x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x^{2}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x e^{x^{2}}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x e^{x^{2}} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x^{2}} y = \int x e^{x^{2}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لنفترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

افترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

خطوة 6.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 6.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 6.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 6.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

خطوة 6.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

خطوة 6.1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 6.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ على $e^{x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ على $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم $\frac{1}{2}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

خطوة 8

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

خطوة 9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

خطوة 9.2.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 1$

خطوة 9.2.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 1$

خطوة 9.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اطرح $\frac{1}{2}$ من كلا المتعادلين.

$C = 1 - \frac{1}{2}$

خطوة 9.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$C = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 9.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$C = \frac{2 - 1}{2}$

خطوة 9.3.4

اطرح $1$ من $2$ .

$C = \frac{1}{2}$

خطوة 10

عوّض بـ $\frac{1}{2}$ عن $C$ في $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{e^{x^{2}}}$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{x^{2}}}$

خطوة 10.2.2

اجمع.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2 e^{x^{2}}}$

خطوة 10.2.3

اضرب $1$ في $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{x^{2}}}$