حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $(x + 1) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

خطوة 1.6

أضف $1$ و $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

خطوة 1.7

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

خطوة 1.8

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

خطوة 1.9

اضرب $y$ في $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (| x |)$ و $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

خطوة 5.4

بسّط.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ على $x + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ على $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 6.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

خطوة 6.3.4

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| x |) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

خطوة 7

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $10$ عن $y$ في $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ .

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ .

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

خطوة 8.2

اضرب كلا المتعادلين في $1 + 1$ .

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

خطوة 8.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

بسّط $(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1.1

اضرب $\ln (| 1 |)$ في $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.1.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

أضف $1$ و $1$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

خطوة 8.3.1.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $(1 + 1) \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

أضف $1$ و $1$ .

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

خطوة 8.3.2.1.2

اضرب $2$ في $10$ .

$- 1 + C = 20$

خطوة 8.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$C = 20 + 1$

خطوة 8.4.2

أضف $20$ و $1$ .

$C = 21$

خطوة 9

عوّض بـ $21$ عن $C$ في $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $21$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$