حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{4} \sqrt{x^{3}}$ , $y (0) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{3}}$ في صورة $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $x^{4}$ في $x^{\frac{3}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = \int x^{4 + \frac{3}{2}} d x$

خطوة 2.3.1.2.2

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

خطوة 2.3.1.2.3

اجمع $4$ و $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} d x$

خطوة 2.3.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{4 \cdot 2 + 3}{2}} d x$

خطوة 2.3.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.5.1

اضرب $4$ في $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{8 + 3}{2}} d x$

خطوة 2.3.1.2.5.2

أضف $8$ و $3$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{11}{2}} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{11}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $0$ عن $y$ في $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط $\frac{2}{13} \cdot 0^{\frac{13}{2}} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{2}{13} \cdot {(0^{2})}^{\frac{13}{2}} + K = 0$

خطوة 4.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

خطوة 4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{2 (\frac{13}{2})} + K = 0$

خطوة 4.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{13} \cdot 0^{13} + K = 0$

خطوة 4.2.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{2}{13} \cdot 0 + K = 0$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $\frac{2}{13}$ في $0$ .

$0 + K = 0$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = 0$

خطوة 5

عوّض بـ $0$ عن $K$ في $y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $0$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}} + 0$

خطوة 5.2

أضف $\frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$ و $0$ .

$y = \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{2}{13}$ و $x^{\frac{13}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{13}{2}}}{13}$