حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x v d v + (v^{2} - 1) d x = 0$

خطوة 1

اطرح $(v^{2} - 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$2 x v d v = - (v^{2} - 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{x (v^{2} - 1)} (2 x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = v$ و $b = 1$ .

$2 \frac{1}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{x (v + 1) (v - 1)}$ .

$\frac{2}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x (v + 1) (v - 1)$ .

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x v$ .

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x (v)) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{(v + 1) (v - 1)} v d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{2}{(v + 1) (v - 1)}$ و $v$ .

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

خطوة 3.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

خطوة 3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

خطوة 3.7.2

أخرِج العامل $v^{2} - 1$ من $x (v^{2} - 1)$ .

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

خطوة 3.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

خطوة 3.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.2

لنفترض أن $u = (v + 1) (v - 1)$ . إذن $d u = 2 v d v$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = v d v$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

افترض أن $u = (v + 1) (v - 1)$ . أوجِد $\frac{d u}{d v}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $(v + 1) (v - 1)$ .

$\frac{d}{d v} [(v + 1) (v - 1)]$

خطوة 4.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ هو $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ حيث $f (v) = v + 1$ و $g (v) = v - 1$ .

$(v + 1) \frac{d}{d v} [v - 1] + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

خطوة 4.2.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $v - 1$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$(v + 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

خطوة 4.2.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(v + 1) (1 + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

خطوة 4.2.2.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$(v + 1) (1 + 0) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

خطوة 4.2.2.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$(v + 1) \cdot 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

خطوة 4.2.2.1.3.4.2

اضرب $v + 1$ في $1$ .

$v + 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

خطوة 4.2.2.1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $v + 1$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$v + 1 + (v - 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1])$

خطوة 4.2.2.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + \frac{d}{d v} [1])$

خطوة 4.2.2.1.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + 0)$

خطوة 4.2.2.1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$v + 1 + (v - 1) \cdot 1$

خطوة 4.2.2.1.3.8.2

اضرب $v - 1$ في $1$ .

$v + 1 + v - 1$

خطوة 4.2.2.1.3.8.3

أضف $v$ و $v$ .

$2 v + 1 - 1$

خطوة 4.2.2.1.3.8.4

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.3.8.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$2 v + 0$

خطوة 4.2.2.1.3.8.4.2

أضف $2 v$ و $0$ .

$2 v$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.5.3

اضرب $\int \frac{1}{u} d u$ في $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(v + 1) (v - 1)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) | | x |) = C$

خطوة 5.3

وسّع $(v + 1) (v - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| v (v - 1) + 1 (v - 1) | | x |) = C$

خطوة 5.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) | | x |) = C$

خطوة 5.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

خطوة 5.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

اضرب $v$ في $v$ .

$\ln (| v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

خطوة 5.4.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $v$ .

$\ln (| v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

خطوة 5.4.1.3

أعِد كتابة $- 1 v$ بالصيغة $- v$ .

$\ln (| v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

خطوة 5.4.1.4

اضرب $v$ في $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

خطوة 5.4.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v - 1 | | x |) = C$

خطوة 5.4.2

أضف $- v$ و $v$ .

$\ln (| v^{2} + 0 - 1 | | x |) = C$

خطوة 5.4.3

أضف $v^{2}$ و $0$ .

$\ln (| v^{2} - 1 | | x |) = C$

خطوة 5.5

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (v^{2} - 1) x |) = C$

خطوة 5.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| v^{2} x - 1 x |) = C$

خطوة 5.7

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\ln (| v^{2} x - x |) = C$

خطوة 5.8

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| v^{2} x - x |)} = e^{C}$

خطوة 5.9

أعِد كتابة $\ln (| v^{2} x - x |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | v^{2} x - x |$

خطوة 5.10

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| v^{2} x - x | = e^{C}$ .

$| v^{2} x - x | = e^{C}$

خطوة 5.10.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$v^{2} x - x = \pm e^{C}$

خطوة 5.10.3

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$v^{2} x = \pm e^{C} + x$

خطوة 5.10.4

اقسِم كل حد في $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.4.1

اقسِم كل حد في $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ على $x$ .

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 5.10.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 5.10.4.2.1.2

اقسِم $v^{2}$ على $1$ .

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 5.10.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.4.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 5.10.4.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + 1$

خطوة 5.10.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$

خطوة 5.10.6

بسّط $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.6.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}}$

خطوة 5.10.6.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$

خطوة 5.10.6.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 5.10.6.4

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 5.10.6.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.6.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

خطوة 5.10.6.5.2

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

خطوة 5.10.6.5.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

خطوة 5.10.6.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.10.6.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

خطوة 5.10.6.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.6.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.10.6.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.10.6.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.10.6.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.6.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.10.6.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

خطوة 5.10.6.5.6.5

بسّط.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x}$

خطوة 5.10.6.6

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$

خطوة 5.10.6.7

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} + x)}}{x}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$v = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$