حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y = 0$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$e^{5 \int \frac{x^{2}}{e^{3 x^{3}}} d x}$

خطوة 1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اعكِس علامة أُس $e^{3 x^{3}}$ وأخرِجها من القاسم.

$e^{5 \int x^{2} {(e^{3 x^{3}})}^{- 1} d x}$

خطوة 1.2.2.2

اضرب الأُسس في ${(e^{3 x^{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{3 x^{3} \cdot - 1} d x}$

خطوة 1.2.2.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$e^{5 \int x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x}$

خطوة 1.2.3

لنفترض أن $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . إذن $d u_{2} = - 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{2} e^{- 3 x^{3}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

افترض أن $u_{2} = e^{- 3 x^{3}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- 3 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{3}}]$

خطوة 1.2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 3 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 1.2.3.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 1.2.3.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- 3 x^{3}$ .

$e^{- 3 x^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

خطوة 1.2.3.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 1.2.3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 3 (3 x^{2}))$

خطوة 1.2.3.1.3.3

اضرب $3$ في $- 3$ .

$e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$

خطوة 1.2.3.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- 3 x^{3}} (- 9 x^{2})$ .

$- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$

خطوة 1.2.3.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 9 e^{- 3 x^{3}} x^{2}$ .

$- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3}}$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{5 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}}$

خطوة 1.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{5 \int - \frac{1}{9} d u_{2}}$

خطوة 1.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2} + C)}$

خطوة 1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

بسّط.

$e^{5 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C}$

خطوة 1.2.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{9}$ .

$e^{5 (- \frac{u_{2}}{9}) + C}$

خطوة 1.2.6.2.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$e^{- 5 \frac{u_{2}}{9} + C}$

خطوة 1.2.6.2.3

اجمع $- 5$ و $\frac{u_{2}}{9}$ .

$e^{\frac{- 5 u_{2}}{9} + C}$

خطوة 1.2.6.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{- \frac{5 u_{2}}{9} + C}$

خطوة 1.2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} + C}$

خطوة 1.2.6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}} + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \frac{5}{9} e^{- 3 x^{3}}}$

خطوة 1.4

اجمع $e^{- 3 x^{3}}$ و $\frac{5}{9}$ .

$e^{- \frac{e^{- 3 x^{3}} \cdot 5}{9}}$

خطوة 1.5

انقُل $5$ إلى يسار $e^{- 3 x^{3}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{5 x^{2}}{e^{3 x^{3}}}$ و $y$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

خطوة 2.2.2

اجمع $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ و $\frac{5 x^{2} y}{e^{3 x^{3}}}$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

خطوة 2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ و $e^{3 x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $e^{3 x^{3}}$ من $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} (5 x^{2} y)$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}}} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

خطوة 2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اضرب في $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x^{3}} (e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y))}{e^{3 x^{3}} \cdot 1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

خطوة 2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)}{1} = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

خطوة 2.2.3.2.4

اقسِم $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y)$ على $1$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (5 x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

خطوة 2.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ في $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} (x^{2} y) = 0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} \frac{d y}{d x} + 5 x^{2} y e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9} - 3 x^{3}} = 0$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] = 0$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y] d x = \int 0 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = \int 0 d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = 0 + C$

خطوة 6.2

أضف $0$ و $C$ .

$e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ على $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y = C$ على $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}} y}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}} = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{5 e^{- 3 x^{3}}}{9}}}$