حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + y^{2}) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(1 + y^{2}) d x$ من كلا المتعادلين.

$- (1 + x^{2}) d y = - (1 + y^{2}) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $1 + y^{2}$ من $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

خطوة 3.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2.3

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$- (\arctan (y) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2.4

بسّط.

$- \arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 4.3.3

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{2}$ .

$- \arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

خطوة 4.3.4

بسّط.

$- \arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $- \arctan (y) = - \arctan (x) + K$ على $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 5.1.2.2

اقسِم $\arctan (y)$ على $1$ .

$\arctan (y) = \frac{- \arctan (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 5.1.3.1.2

اقسِم $\arctan (x)$ على $1$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + \frac{K}{- 1}$

خطوة 5.1.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{K}{- 1}$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) - 1 \cdot K$

خطوة 5.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot K$ بالصيغة $- K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\arctan (x) - K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) - K = \arctan (y)$

خطوة 5.3

أضف $K$ إلى كلا المتعادلين.

$\arctan (x) = \arctan (y) + K$

خطوة 5.4

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$x = \tan (\arctan (y) + K)$

خطوة 5.5

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\tan (\arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

خطوة 5.6

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (y)$ من داخل المماس.

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

خطوة 5.7

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

خطوة 5.8

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

خطوة 5.9

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$\tan (\arctan (y) + K) = x$

خطوة 5.10

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (y)$ من داخل المماس.

$\arctan (y) + K = \arctan (x)$

خطوة 5.11

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$\arctan (y) = \arctan (x) - K$

خطوة 5.12

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (\arctan (x) - K)$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$