حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d P}{d t} = - 5 t e^{- 0.2 t}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d P = - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d P = \int - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$P + C_{1} = \int - 5 t e^{- 0.2 t} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$P + C_{1} = - 5 \int t e^{- 0.2 t} d t$

خطوة 2.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = e^{- 0.2 t}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \int - 5 e^{- 0.2 t} d t)$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - (- 5 \int e^{- 0.2 t} d t))$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{- 0.2 t} d t)$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u = - 0.2 t$ . إذن $d u = - 0.2 d t$ ، لذا $\frac{1}{- 0.2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u = - 0.2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $- 0.2 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.2 t]$

خطوة 2.3.5.1.2

بما أن $- 0.2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 0.2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 0.2 \cdot 1$

خطوة 2.3.5.1.4

اضرب $- 0.2$ في $1$ .

$- 0.2$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{u} \frac{1}{- 0.2} d u)$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int e^{u} (- \frac{1}{0.2}) d u)$

خطوة 2.3.6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{0.2}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 \int - \frac{e^{u}}{0.2} d u)$

خطوة 2.3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + 5 (- \int \frac{e^{u}}{0.2} d u))$

خطوة 2.3.8

اضرب $- 1$ في $5$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - 5 \int \frac{e^{u}}{0.2} d u)$

خطوة 2.3.9

بما أن $\frac{1}{0.2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{0.2}$ خارج التكامل.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - 5 (\frac{1}{0.2} \int e^{u} d u))$

خطوة 2.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1

اجمع $\frac{1}{0.2}$ و $- 5$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) + \frac{- 5}{0.2} \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.10.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$P + C_{1} = - 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} (e^{u} + C_{2}))$

خطوة 2.3.12

أعِد كتابة $- 5 (t (- 5 e^{- 0.2 t}) - \frac{5}{0.2} (e^{u} + C_{2}))$ بالصيغة $- 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{u}) + C_{2}$ .

$P + C_{1} = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{u}) + C_{2}$

خطوة 2.3.13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 0.2 t$ .

$P + C_{1} = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{- 0.2 t}) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$P = - 5 (- 5 t e^{- 0.2 t} - 25 e^{- 0.2 t}) + K$