حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3$ , $y (9) = 1$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.3.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 3 d x$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + 3 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $9$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$1 = 3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$ .

$3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

خطوة 4.2

بسّط $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $3$ في $9$ .

$27 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$27 + {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

خطوة 4.2.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

خطوة 4.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

خطوة 4.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$27 + 3^{1} + K = 1$

خطوة 4.2.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$27 + 3 + K = 1$

خطوة 4.2.2

أضف $27$ و $3$ .

$30 + K = 1$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $30$ من كلا المتعادلين.

$K = 1 - 30$

خطوة 4.3.2

اطرح $30$ من $1$ .

$K = - 29$

خطوة 5

عوّض بـ $- 29$ عن $K$ في $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 29$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} - 29$