حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المشتق الأول يساوي تكامل المشتق الثاني بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

خطوة 1.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

خطوة 1.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{d y}{d x} = 4 \int x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

خطوة 1.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

خطوة 1.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 \int x^{2} d x + \int d x$

خطوة 1.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int d x$

خطوة 1.7

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

خطوة 1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

خطوة 1.8.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

خطوة 1.8.2

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = x^{4} + x^{3} + x + C_{4}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (x^{4} + x^{3} + x + C_{4}) d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x^{4} + x^{3} + x + C_{4} d x$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{5} = \int x^{4} + x^{3} + x + C_{4} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{5} = \int x^{4} d x + \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \int x d x + \int C_{4} d x$

خطوة 3.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + \int C_{4} d x$

خطوة 3.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + C_{4} x + C_{9}$

خطوة 3.3.6

بسّط.

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} x + C_{10}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + D$