حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x e^{y} + e^{x}) d x + (x^{2} + 1) e^{y} d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x e^{y} + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{y} + e^{x}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x e^{y} + e^{x}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.4

بما أن $e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $e^{x}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + 0$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $2 x e^{y}$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y}$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب عوامل $2 x e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}]$

خطوة 2.2

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $(x^{2} + 1) e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x + 0)$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x)$

خطوة 2.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot e^{y} x$

خطوة 2.6.3

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{y} x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x e^{y}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x e^{y}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x e^{y} = 2 x e^{y}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 x e^{y} = 2 x e^{y}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int (x^{2} + 1) e^{y} d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $x^{2} + 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x^{2} + 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) \int e^{y} d y$

خطوة 5.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 1) (e^{y} + C)$

خطوة 5.3

بسّط.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y} + g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $e^{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $(x^{2} + 1) e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 8.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{y} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 8.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{y} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 8.3.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 8.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{y}$ .

$2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{y} x = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + 2 e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = 2 x e^{y} + e^{x}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $2 x e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + e^{x} - 2 x e^{y}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x e^{y} + e^{x} - 2 x e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $2 x e^{y}$ من $2 x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

خطوة 9.1.2.2

أضف $0$ و $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $e^{x}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

خطوة 10.3

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + e^{x} + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = x^{2} e^{y} + 1 e^{y} + e^{x} + C$

خطوة 12.2

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{y} + e^{y} + e^{x} + C$