حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1

افترض أن $v = \frac{d y}{d x}$ . إذن $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . عوّض بـ $v$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $\frac{d v}{d x}$ عن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ للحصول على معادلة تفاضلية ذات متغير تابع $v$ ومتغير مستقل $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x + C_{1}}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

خطوة 7.2

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C_{2})$

خطوة 7.3

بسّط.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ على $e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ على $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 8.3.1.2.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

خطوة 10

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

خطوة 11

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

خطوة 11.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{3} = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

خطوة 11.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{3} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

خطوة 11.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

خطوة 11.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

خطوة 11.3.4

بما أن $C_{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $C_{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

خطوة 11.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.1

اعكِس علامة أُس $e^{x}$ وأخرِجها من القاسم.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

خطوة 11.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

خطوة 11.3.5.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

خطوة 11.3.5.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

خطوة 11.3.5.2.2

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- x} d x$

خطوة 11.3.6

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.6.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.6.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 11.3.6.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11.3.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 11.3.6.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 11.3.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int - e^{u} d u$

خطوة 11.3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

خطوة 11.3.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

خطوة 11.3.9

بسّط.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

خطوة 11.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

خطوة 11.3.11

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C_{2} - x + C_{7}$

خطوة 11.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C - x + D$