حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = {(y + 2)}^{6}$ , $y (0) = - 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{{(y + 2)}^{6}}$ .

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ ${(y + 2)}^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = y + 2$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = y + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل $u^{6}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{6})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u = \int d x$

خطوة 2.2.2.2.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u = \int d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 6}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1}$ بالصيغة $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اضرب $\frac{1}{u^{5}}$ في $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.4.2.2

انقُل $5$ إلى يسار $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $- 1$ عن $y$ في $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ .

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}} = 0 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

خطوة 4.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

خطوة 4.3

بسّط $- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $- 1$ و $2$ .

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1^{5}}$

خطوة 4.3.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1}$

خطوة 4.3.2

اضرب $5$ في $1$ .

$K = - \frac{1}{5}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{1}{5}$ عن $K$ في $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- \frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x - \frac{1}{5}$