حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

قسّم $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

قسّم الكسر $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.3

قسّم الكسر $\frac{x - y}{y}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.4.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{x y}$

خطوة 1.1.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

خطوة 1.1.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

خطوة 1.1.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y}{x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{x}{y}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - 1 + \frac{y}{x}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - 1 + V$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - 1 + V$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - 1 + V$

خطوة 6.1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + V - V$

خطوة 6.1.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{1}{V} - 1 + V - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + 0$

خطوة 6.1.1.2.2.2

أضف $\frac{1}{V} - 1$ و $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.1.2

اضرب $\frac{1}{V}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

لكتابة $- \frac{1}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{V}{V}$

خطوة 6.1.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $V x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{x V}$

خطوة 6.1.2.2.2

أعِد ترتيب عوامل $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{V x}$

خطوة 6.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V x}$

خطوة 6.1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{V}{1 - V}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} (\frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.1

اضرب $\frac{1 - V}{V}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

خطوة 6.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.2.1

أخرِج العامل $V$ من $V x$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V (x)}$

خطوة 6.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

خطوة 6.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

خطوة 6.1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

خطوة 6.1.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{V}{1 - V} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{V}{1 - V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أعِد ترتيب $1$ و $- V$ .

$\int \frac{V}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

اقسِم $V$ على $- V + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$V$

$1$

$V$

$0$

خطوة 6.2.2.2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $V$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- V$ .

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$

خطوة 6.2.2.2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				+	$V$	-	$1$

خطوة 6.2.2.2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $V - 1$

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$

خطوة 6.2.2.2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$
						+	$1$

خطوة 6.2.2.2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int - 1 + \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 d V + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$- V + C_{1} + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5

لنفترض أن $u = - V + 1$ . إذن $d u = - d V$ ، لذا $- d u = d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1

افترض أن $u = - V + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 6.2.2.5.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 6.2.2.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- V + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- V + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- V + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- V + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.9

بسّط.

$- V - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- V + 1$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = \frac{y}{x} + C$

خطوة 8.2

أضف $\ln (| x |)$ إلى كلا المتعادلين.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$

خطوة 8.3

اقسِم كل حد في $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2

اقسِم $\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)$ على $1$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{y}{x}}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - 1 \cdot \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \frac{y}{x}$ بالصيغة $- \frac{y}{x}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

خطوة 8.3.3.1.5

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

خطوة 8.3.3.1.6

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (| x |)$ بالصيغة $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - \ln (| x |)$

خطوة 8.4

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} - C$

خطوة 8.5

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 | | x |) = - \frac{y}{x} - C$

خطوة 8.6

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (- \frac{y}{x} + 1) x |) = - \frac{y}{x} - C$

خطوة 8.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| - \frac{y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

خطوة 8.8

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y}{x}$ إلى بسط الكسر.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

خطوة 8.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

خطوة 8.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| - y + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

خطوة 8.9

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (| - y + x |) = - \frac{y}{x} - C$