حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} - \frac{9}{t} \cdot y = t^{5}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = - \frac{9}{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{9}{t} d t}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $- \frac{9}{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{9}{t} d t}$

خطوة 1.2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$e^{- (9 \int \frac{1}{t} d t)}$

خطوة 1.2.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$e^{- 9 \int \frac{1}{t} d t}$

خطوة 1.2.4

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$e^{- 9 (\ln (| t |) + C)}$

خطوة 1.2.5

بسّط.

$e^{- 9 \ln (| t |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 9 \ln (t)}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (t^{- 9})}$

خطوة 1.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$t^{- 9}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{9}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{t^{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{t^{9}}$ .

$\frac{1}{t^{9}} \frac{d y}{d t} + \frac{1}{t^{9}} (- \frac{9}{t} \cdot y) = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{t^{9}}$ و $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} + \frac{1}{t^{9}} (- \frac{9}{t} \cdot y) = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

خطوة 2.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{1}{t^{9}} (\frac{9}{t} y) = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{9}{t}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{1}{t^{9}} \cdot \frac{9 y}{t} = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

خطوة 2.2.4

اضرب $- \frac{1}{t^{9}} \cdot \frac{9 y}{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $\frac{9 y}{t}$ في $\frac{1}{t^{9}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t \cdot t^{9}} = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $t$ في $t^{9}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اضرب $t$ في $t^{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{1} t^{9}} = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

خطوة 2.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{1 + 9}} = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

خطوة 2.2.4.2.2

أضف $1$ و $9$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{10}} = \frac{1}{t^{9}} t^{5}$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $t^{5}$ من $t^{9}$ .

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{10}} = \frac{1}{t^{5} t^{4}} t^{5}$

خطوة 2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{10}} = \frac{1}{t^{5} t^{4}} t^{5}$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d t}}{t^{9}} - \frac{9 y}{t^{10}} = \frac{1}{t^{4}}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{9}} y] = \frac{1}{t^{4}}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{9}} y] d t = \int \frac{1}{t^{4}} d t$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{t^{9}} y = \int \frac{1}{t^{4}} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

انقُل $t^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = \int {(t^{4})}^{- 1} d t$

خطوة 6.1.2

اضرب الأُسس في ${(t^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = \int t^{4 \cdot - 1} d t$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = \int t^{- 4} d t$

خطوة 6.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{- 4}$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \frac{1}{3} t^{- 3}$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = - \frac{1}{3} t^{- 3} + C$

خطوة 6.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{3} t^{- 3} + C$ بالصيغة $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{3}} + C$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{3}} + C$

خطوة 6.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $\frac{1}{t^{3}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = - \frac{1}{t^{3} \cdot 3} + C$

خطوة 6.3.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $t^{3}$ .

$\frac{1}{t^{9}} y = - \frac{1}{3 t^{3}} + C$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أضف $\frac{1}{3 t^{3}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{1}{t^{9}} y + \frac{1}{3 t^{3}} = C$

خطوة 7.1.2

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{t^{9}} y + \frac{1}{3 t^{3}} - C = 0$

خطوة 7.1.3

اجمع $\frac{1}{t^{9}}$ و $y$ .

$\frac{y}{t^{9}} + \frac{1}{3 t^{3}} - C = 0$

خطوة 7.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اطرح $\frac{1}{3 t^{3}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y}{t^{9}} - C = - \frac{1}{3 t^{3}}$

خطوة 7.2.2

أضف $C$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y}{t^{9}} = - \frac{1}{3 t^{3}} + C$

خطوة 7.3

اضرب كلا الطرفين في $t^{9}$ .

$\frac{y}{t^{9}} t^{9} = (- \frac{1}{3 t^{3}} + C) t^{9}$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{t^{9}} t^{9} = (- \frac{1}{3 t^{3}} + C) t^{9}$

خطوة 7.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (- \frac{1}{3 t^{3}} + C) t^{9}$

خطوة 7.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

بسّط $(- \frac{1}{3 t^{3}} + C) t^{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{1}{3 t^{3}} t^{9} + C t^{9}$

خطوة 7.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3 t^{3}}$ إلى بسط الكسر.

$y = \frac{- 1}{3 t^{3}} t^{9} + C t^{9}$

خطوة 7.4.2.1.2.2

أخرِج العامل $t^{3}$ من $3 t^{3}$ .

$y = \frac{- 1}{t^{3} \cdot 3} t^{9} + C t^{9}$

خطوة 7.4.2.1.2.3

أخرِج العامل $t^{3}$ من $t^{9}$ .

$y = \frac{- 1}{t^{3} \cdot 3} (t^{3} t^{6}) + C t^{9}$

خطوة 7.4.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- 1}{t^{3} \cdot 3} (t^{3} t^{6}) + C t^{9}$

خطوة 7.4.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{- 1}{3} t^{6} + C t^{9}$

خطوة 7.4.2.1.3

اجمع $\frac{- 1}{3}$ و $t^{6}$ .

$y = \frac{- t^{6}}{3} + C t^{9}$

خطوة 7.4.2.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{t^{6}}{3} + C t^{9}$

خطوة 7.4.2.1.4.2

أعِد ترتيب $- \frac{t^{6}}{3}$ و $C t^{9}$ .

$y = C t^{9} - \frac{t^{6}}{3}$