حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + x^{2}) d y - (1 + y^{2}) d x = 0$

خطوة 1

أضف $(1 + y^{2}) d x$ إلى كلا المتعادلين.

$(1 + x^{2}) d y = (1 + y^{2}) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $1 + y^{2}$ من $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

خطوة 5.2

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

خطوة 5.3

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

خطوة 5.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

خطوة 5.5

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (y)$ من داخل المماس.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

خطوة 5.6

أضف $K$ إلى كلا المتعادلين.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

خطوة 5.7

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

خطوة 5.8

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

خطوة 5.9

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (y)$ من داخل المماس.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

خطوة 5.10

أضف $K$ إلى كلا المتعادلين.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

خطوة 5.11

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$