حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

خطوة 1.6

اضرب $y$ في $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int 3 x^{2} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$x y = 3 \int x^{2} d x$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 5.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

خطوة 5.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x y = 1 x^{3} + C$

خطوة 5.3.2.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$x y = x^{3} + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $x y = x^{3} + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $x y = x^{3} + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

خطوة 6.3.1.2.5

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$