حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} - 3 y$

خطوة 1

أضف $3 y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + 3 y = e^{2 x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 3 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{3 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{3 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} e^{2 x}$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} e^{2 x}$

خطوة 3.3

اضرب $e^{3 x}$ في $e^{2 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x + 2 x}$

خطوة 3.3.2

أضف $3 x$ و $2 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{5 x}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{5 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = e^{5 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = e^{5 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int e^{5 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{3 x} y = \int e^{5 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لنفترض أن $u = 5 x$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

افترض أن $u = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 7.1.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 7.1.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{3 x} y = \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

خطوة 7.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$e^{3 x} y = \int \frac{e^{u}}{5} d u$

خطوة 7.3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$e^{3 x} y = \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

خطوة 7.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

خطوة 7.5

بسّط.

$e^{3 x} y = \frac{1}{5} e^{u} + C$

خطوة 7.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$e^{3 x} y = \frac{1}{5} e^{5 x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{3 x} y = \frac{1}{5} e^{5 x} + C$ على $e^{3 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{3 x} y = \frac{1}{5} e^{5 x} + C$ على $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{5} e^{5 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{5} e^{5 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} e^{5 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{5 x}$ و $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $e^{3 x}$ من $\frac{1}{5} e^{5 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{1}{5} e^{2 x})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{1}{5} e^{2 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{1}{5} e^{2 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{5} e^{2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{1}{5} e^{2 x}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{5} e^{2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 8.3.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{5} + \frac{C}{e^{3 x}}$