حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - 7 x^{6} e^{- x^{7}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 7$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 7 \int x^{6} e^{- x^{7}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{2} = e^{- x^{7}}$ . إذن $d u_{2} = - 7 x^{6} e^{- x^{7}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{7} d u_{2} = x^{6} e^{- x^{7}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{2} = e^{- x^{7}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- x^{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{7}}]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

خطوة 2.3.2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

خطوة 2.3.2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{7}$ .

$e^{- x^{7}} \frac{d}{d x} [- x^{7}]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{7}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$e^{- x^{7}} (- \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$e^{- x^{7}} (- (7 x^{6}))$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $7$ في $- 1$ .

$e^{- x^{7}} (- 7 x^{6})$

خطوة 2.3.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- x^{7}} (- 7 x^{6})$ .

$- 7 e^{- x^{7}} x^{6}$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 7 e^{- x^{7}} x^{6}$ .

$- 7 x^{6} e^{- x^{7}}$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{1}{- 7} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - 7 \int - \frac{1}{7} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{1}{7} u_{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{1}{7} u_{2}) + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = - 7 (- \frac{u_{2}}{7}) + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$y + C_{1} = 7 \frac{u_{2}}{7} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3

اجمع $7$ و $\frac{u_{2}}{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{7 u_{2}}{7} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{7 u_{2}}{7} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.4.2

اقسِم $u_{2}$ على $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{- x^{7}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{7}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = e^{- x^{7}} + K$