حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} \frac{d y}{d t} = \sin (2 t)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} d y = \sin (2 t) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int \sin (2 t) d t$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sin (2 t) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 2.3.1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{\cos (2 t)}{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} \cos (2 t) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (- \frac{1}{2} \cos (2 t) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\cos (2 t)$ و $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{\cos (2 t)}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3

اضرب $3 (- \frac{\cos (2 t)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{\cos (2 t)}{2} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اجمع $- 3$ و $\frac{\cos (2 t)}{2}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{3} = - \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $3$ من $- \frac{3 \cos (2 t)}{2} + 3 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- \frac{3 \cos (2 t)}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $3$ من $3 (- \frac{\cos (2 t)}{2}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{\cos (2 t)}{2} + K)}$