حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

cari $\frac{d y}{d x}$ jika $4 x y - 3 y = 1$

خطوة 1

اكتب المسألة في صورة عبارة رياضية.

$\frac{d y}{d x} \cdot 4 x y - 3 y = 1$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

انقُل $4$ إلى يسار $\frac{d y}{d x}$ .

$4 \frac{d y}{d x} x y - 3 y = 1$

خطوة 2.1.2

أضف $3 y$ إلى كلا المتعادلين.

$4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$

خطوة 2.1.3

اقسِم كل حد في $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ على $4 x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

اقسِم كل حد في $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ على $4 x y$ .

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

خطوة 2.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

خطوة 2.1.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

خطوة 2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

خطوة 2.1.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

خطوة 2.1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

خطوة 2.1.3.2.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

خطوة 2.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

خطوة 2.1.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x}$

خطوة 2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لكتابة $\frac{3}{4 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x} \cdot \frac{y}{y}$

خطوة 2.2.2

اضرب $\frac{3}{4 x}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

خطوة 2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 x y}$

خطوة 2.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{4 y}{1 + 3 y}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} (\frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $\frac{1 + 3 y}{4 y}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أخرِج العامل $4 y$ من $4 y x$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y (x)}$

خطوة 2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

خطوة 2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

خطوة 2.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

خطوة 2.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \frac{y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.2

أعِد ترتيب $1$ و $3 y$ .

$4 \int \frac{y}{3 y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.3

اقسِم $y$ على $3 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$3 y$

$1$

$y$

$0$

خطوة 3.2.3.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 y$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

خطوة 3.2.3.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{3}$

خطوة 3.2.3.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y + \frac{1}{3}$

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$

خطوة 3.2.3.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

خطوة 3.2.3.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$4 \int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (\int \frac{1}{3} d y + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.9

لنفترض أن $u = 3 y + 1$ . إذن $d u = 3 d y$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1

افترض أن $u = 3 y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1.1

أوجِد مشتقة $3 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 1]$

خطوة 3.2.9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.2.9.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.2.9.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.2.9.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.2.9.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 3.2.9.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 3.2.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.10.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.11

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.12.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.12.2

اضرب $3$ في $3$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.13

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.14

بسّط.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| u |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 y + 1$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) = \ln (| x |) + C$