حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = - x$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + y}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} = - x$

خطوة 1.1.2

اضرب كلا الطرفين في $1 + y$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = - x (1 + y)$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{1 + y} (1 + y) = - x (1 + y)$

خطوة 1.1.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x (1 + y)$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

بسّط $- x (1 + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x \cdot 1 - x y$

خطوة 1.1.3.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x - x y$

خطوة 1.1.3.2.1.2.2

أعِد ترتيب $- x$ و $- x y$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$ على $\sqrt{1 + x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - x y - x$ على $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.2

اضرب $\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.1

اضرب $\frac{x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.2

ارفع $\sqrt{1 + x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.3

ارفع $\sqrt{1 + x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ بالصيغة $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + x^{2}}$ في صورة ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3.6.5

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.5

اضرب $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

خطوة 1.1.4.3.1.1.6

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.2

ارفع $\sqrt{1 + x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.3

ارفع $\sqrt{1 + x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.6

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ بالصيغة $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + x^{2}}$ في صورة ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.6.6.5

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.2.1

أخرِج العامل $x \sqrt{1 + x^{2}}$ من $- x y \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.2.1.1

أخرِج العامل $x \sqrt{1 + x^{2}}$ من $- x y \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.2.1.2

أخرِج العامل $x \sqrt{1 + x^{2}}$ من $- x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1)}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.2.1.3

أخرِج العامل $x \sqrt{1 + x^{2}}$ من $x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y - 1)}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.2.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- y - 1)}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.3

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1)}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.3.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1 (1))}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y + 1))}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.3.4.1

أعِد كتابة $- (y + 1)$ بالصيغة $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 (y + 1))}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.3.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(x \sqrt{1 + x^{2}}) (y + 1)}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (- \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 1} (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y + 1}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1))$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $y + 1$ من $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

خطوة 1.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y + 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 1 + x^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{2}}$ في صورة ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

انقُل ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب $u_{2}$ في ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

اضرب $u_{2}$ في ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1.1

ارفع $u_{2}$ إلى القوة $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.1

انقُل ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.3.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y + 1 |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 1 |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y + 1 | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y + 1 | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

خطوة 3.3.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} - 1$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ بالصيغة $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C} - 1$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 1$