حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب أسلوب برنولي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{2}$

خطوة 4

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{2}$

خطوة 5

خُذ مشتق $v^{2}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

خُذ مشتق $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

خطوة 5.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

خطوة 5.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = 2 v v'$

خطوة 6

عوّض بـ $2 v v'$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{2}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اقسِم كل حد في $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ على $2 v$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

اقسِم كل حد في $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ على $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.2.2

اقسِم $\frac{d v}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $v^{2}$ و $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.3.1

أخرِج العامل $v$ من $\frac{1}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $v$ من $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.4

اجمع $\frac{1}{x}$ و $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.6

اضرب $\frac{v}{x}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.2.1.7

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1.1

اضرب الأُسس في ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.1.2

بسّط.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

خطوة 7.1.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $v$ من $\frac{v}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.1.3

أعِد ترتيب $v$ و $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{1}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

خطوة 7.2.2

أوجِد تكامل $\frac{1}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 7.2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 7.2.2.3

بسّط.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

خطوة 7.2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

خطوة 7.2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 7.2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب كل حد في $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اجمع $\frac{1}{2 x}$ و $v$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.2.2

اجمع $x^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{v}{2 x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.2.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.2.4

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.4.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.2.4.2

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.2.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.2.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.2.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.2.4.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.3

اجمع $x^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 7.4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 7.5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

خطوة 7.6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

خطوة 7.7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

خطوة 7.7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 7.7.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.7.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.7.3.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.7.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.7.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.7.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.7.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.8

اقسِم كل حد في $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ على $x^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اقسِم كل حد في $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ على $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.8.2.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.8.3.1.2

اضرب $x^{\frac{3}{2}}$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1.2.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.8.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.8.3.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.8.3.1.2.4

أضف $- 1$ و $3$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.8.3.1.2.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.8.3.1.3

بسّط $\frac{1}{3} x^{1}$ .

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.8.3.1.4

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$