حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = 8 \sqrt{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (8 \sqrt{y})$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{1}{\sqrt{y}} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{y}}$ في $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) \sqrt{y}$

خطوة 1.2.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{y}}$ في $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.3.2

ارفع $\sqrt{y}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.3.3

ارفع $\sqrt{y}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{y}}^{2}$ بالصيغة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.3.6.5

بسّط.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8 \frac{\sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.4

اجمع $8$ و $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

خطوة 1.2.5

اضرب $\frac{8 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اجمع $\frac{8 \sqrt{y}}{y}$ و $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 \sqrt{y} \sqrt{y}}{y}$

خطوة 1.2.5.2

ارفع $\sqrt{y}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{y}$

خطوة 1.2.5.3

ارفع $\sqrt{y}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{y}$

خطوة 1.2.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{y}$

خطوة 1.2.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 {\sqrt{y}}^{2}}{y}$

خطوة 1.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{y}}^{2}$ بالصيغة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

خطوة 1.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

خطوة 1.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

خطوة 1.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

خطوة 1.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 y^{1}}{y}$

خطوة 1.2.6.5

بسّط.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 y}{y}$

خطوة 1.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{8 y}{y}$

خطوة 1.2.7.2

اقسِم $8$ على $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 8$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 8 d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 8 d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 8 d t$

خطوة 2.2.1.2

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 8 d t$

خطوة 2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 8 d t$

خطوة 2.2.1.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 8 d t$

خطوة 2.2.1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 8 d t$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 d t$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 t + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 8 t + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 y^{\frac{1}{2}} = 8 t + K$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $2 y^{\frac{1}{2}} = 8 t + K$ على $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{8 t}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{8 t}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $y^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{8 t}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8 t$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (4 t)}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (4 t)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (4 t)}{2 \cdot 1} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{4 t}{1} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.2.4

اقسِم $4 t$ على $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 4 t + \frac{K}{2}$

خطوة 3.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 t + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

بسّط ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 t + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 t + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = {(4 t + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.1.1.2

بسّط.

$y = {(4 t + \frac{K}{2})}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط ${(4 t + \frac{K}{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد كتابة ${(4 t + \frac{K}{2})}^{2}$ بالصيغة $(4 t + \frac{K}{2}) (4 t + \frac{K}{2})$ .

$y = (4 t + \frac{K}{2}) (4 t + \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2

وسّع $(4 t + \frac{K}{2}) (4 t + \frac{K}{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 4 t (4 t + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (4 t + \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 4 t (4 t) + 4 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (4 t + \frac{K}{2})$

خطوة 3.3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 4 t (4 t) + 4 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (4 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = 4 \cdot 4 t \cdot t + 4 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (4 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.2

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.2.1

انقُل $t$ .

$y = 4 \cdot 4 (t \cdot t) + 4 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (4 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.2.2

اضرب $t$ في $t$ .

$y = 4 \cdot 4 t^{2} + 4 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (4 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.3

اضرب $4$ في $4$ .

$y = 16 t^{2} + 4 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (4 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4 t$ .

$y = 16 t^{2} + 2 (2 t) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (4 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = 16 t^{2} + 2 (2 t) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (4 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = 16 t^{2} + 2 t K + \frac{K}{2} (4 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = 16 t^{2} + 2 t K + 4 \frac{K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y = 16 t^{2} + 2 t K + 2 (2) \frac{K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = 16 t^{2} + 2 t K + 2 \cdot 2 \frac{K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = 16 t^{2} + 2 t K + 2 K t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.7

اضرب $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1.7.1

اضرب $\frac{K}{2}$ في $\frac{K}{2}$ .

$y = 16 t^{2} + 2 t K + 2 K t + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.7.2

ارفع $K$ إلى القوة $1$ .

$y = 16 t^{2} + 2 t K + 2 K t + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.7.3

ارفع $K$ إلى القوة $1$ .

$y = 16 t^{2} + 2 t K + 2 K t + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = 16 t^{2} + 2 t K + 2 K t + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = 16 t^{2} + 2 t K + 2 K t + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.3.1.7.6

اضرب $2$ في $2$ .

$y = 16 t^{2} + 2 t K + 2 K t + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.2

أضف $2 t K$ و $2 K t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.2.1

انقُل $t$ .

$y = 16 t^{2} + 2 K t + 2 K t + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.2.2

أضف $2 K t$ و $2 K t$ .

$y = 16 t^{2} + 4 K t + \frac{K^{2}}{4}$

خطوة 3.4

بسّط $16 t^{2} + 4 K t + \frac{K^{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $16 t^{2}$ .

$y = 4 K t + \frac{K^{2}}{4} + 16 t^{2}$

خطوة 3.4.2

أعِد ترتيب $4 K t$ و $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + 4 K t + 16 t^{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = K + K t + 16 t^{2}$