حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int c_{1} x^{2} d x + \int c_{2} e^{2 x} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $c_{1}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $c_{1}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = c_{1} \int x^{2} d x + \int c_{2} e^{2 x} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int c_{2} e^{2 x} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $c_{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $c_{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{2 x} d x$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.3.5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 2.3.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $c_{2}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \frac{c_{2}}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 2.3.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \frac{c_{2}}{2} (e^{u} + C_{3})$

خطوة 2.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{c_{1} x^{3}}{3} + \frac{c_{2}}{2} e^{u} + C_{4}$

خطوة 2.3.10.2

اجمع $\frac{c_{2}}{2}$ و $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{c_{1} x^{3}}{3} + \frac{c_{2} e^{u}}{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} c_{1} x^{3} + \frac{1}{2} c_{2} e^{2 x} + C_{4}$

خطوة 2.3.12

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} c_{1} + \frac{1}{2} e^{2 x} c_{2} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} c_{1} + \frac{1}{2} e^{2 x} c_{2} + K$