حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(x^{2} + 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

خطوة 3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

خطوة 3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}}) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.3.4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 4.3.4.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 4.3.4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{- 2} d x$

خطوة 4.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - (- x^{- 1} + C_{3})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

بسّط.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x - - \frac{1}{x} + C_{4}$

خطوة 4.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

خطوة 4.3.6.2.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + \frac{1}{x} + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - x + \frac{1}{x} + K$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $3 (- x + \frac{1}{x} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

خطوة 5.2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y^{3} = - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

خطوة 5.2.2.1.2.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = - 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$

خطوة 5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$

خطوة 5.4

بسّط $\sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + \frac{3}{x} + 3 K}$

خطوة 5.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K}$

خطوة 5.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x) + 3 \frac{1}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K}$

خطوة 5.4.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x} + K)}$

خطوة 5.4.2

لكتابة $- x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اجمع $- x$ و $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

خطوة 5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1}{x} + K)}$

خطوة 5.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1^{2}}{x} + K)}$

خطوة 5.4.4.2

أعِد كتابة $x \cdot x$ بالصيغة $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x} + K)}$

خطوة 5.4.4.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{1^{2} - x^{2}}{x} + K)}$

خطوة 5.4.4.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + K)}$

خطوة 5.4.5

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + \frac{K x}{x})}$

خطوة 5.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{(1 + x) (1 - x) + K x}{x}}$

خطوة 5.4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.1

وسّع $(1 + x) (1 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

خطوة 5.4.7.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

خطوة 5.4.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

خطوة 5.4.7.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

خطوة 5.4.7.2.1.2

اضرب $- x$ في $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

خطوة 5.4.7.2.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x + x (- x) + K x}{x}}$

خطوة 5.4.7.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x \cdot x + K x}{x}}$

خطوة 5.4.7.2.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.7.2.1.5.1

انقُل $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + K x}{x}}$

خطوة 5.4.7.2.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x^{2} + K x}{x}}$

خطوة 5.4.7.2.2

أضف $- x$ و $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 0 - x^{2} + K x}{x}}$

خطوة 5.4.7.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x^{2} + K x}{x}}$

خطوة 5.4.8

اجمع $3$ و $\frac{1 - x^{2} + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$

خطوة 5.4.9

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

خطوة 5.4.10

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 5.4.11

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.11.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 5.4.11.2

ارفع $\sqrt[3]{x}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 5.4.11.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

خطوة 5.4.11.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

خطوة 5.4.11.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.11.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 5.4.11.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 5.4.11.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 5.4.11.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.11.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 5.4.11.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

خطوة 5.4.11.5.5

بسّط.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

خطوة 5.4.12

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

خطوة 5.4.13

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$

خطوة 5.4.14

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (1 - x^{2} + K x)}}{x}$