حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d F}{d x} = 4 e^{x} + 4 x^{2}$ , $F (0) = - 8$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d F = (4 e^{x} + 4 x^{2}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d F = \int 4 e^{x} + 4 x^{2} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$F + C_{1} = \int 4 e^{x} + 4 x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$F + C_{1} = \int 4 e^{x} d x + \int 4 x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$F + C_{1} = 4 \int e^{x} d x + \int 4 x^{2} d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + \int 4 x^{2} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 4 \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$F + C_{1} = 4 e^{x} + 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{3}$ .

$F + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{4}{3} x^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$F + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + 4 e^{x} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$F = \frac{4}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $- 8$ عن $F$ في $F = \frac{4}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$ .

$- 8 = \frac{4}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{4}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K = - 8$ .

$\frac{4}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K = - 8$

خطوة 4.2

بسّط $\frac{4}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{4}{3} \cdot 0 + 4 e^{0} + K = - 8$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $\frac{4}{3}$ في $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 8$

خطوة 4.2.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = - 8$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$0 + 4 + K = - 8$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$4 + K = - 8$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$K = - 8 - 4$

خطوة 4.3.2

اطرح $4$ من $- 8$ .

$K = - 12$

خطوة 5

عوّض بـ $- 12$ عن $K$ في $F = \frac{4}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 12$ .

$F = \frac{4}{3} x^{3} + 4 e^{x} - 12$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x^{3}$ .

$F = \frac{4 x^{3}}{3} + 4 e^{x} - 12$