حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y + 1) d x + (4 x - 1) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(y + 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$(4 x - 1) d y = - (y + 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (4 x - 1) d y = \frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (4 x - 1) d y = \frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (y + 1) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(4 x - 1) (y + 1)} (y + 1) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y + 1$ من $(4 x - 1) (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (4 x - 1)} (y + 1) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (4 x - 1)} (y + 1) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{4 x - 1} d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{4 x - 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{4 x - 1} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y + 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 4.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 4.2.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{4 x - 1} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4 x - 1} d x$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4 x - 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{4 x - 1} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 4 x - 1$ . إذن $d u_{2} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 4 x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.3.2.1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 + 0$

خطوة 4.3.2.1.4.2

أضف $4$ و $0$ .

$4$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

خطوة 4.3.3.2

انقُل $4$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.5

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x - 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{4} \ln (| 4 x - 1 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{4} \ln (| 4 x - 1 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\ln (| 4 x - 1 |)$ و $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{\ln (| 4 x - 1 |)}{4} + C$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

خطوة 5.3

لكتابة $\ln (| y + 1 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| y + 1 |) \cdot \frac{4}{4} + \frac{\ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

خطوة 5.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اجمع $\ln (| y + 1 |)$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (| y + 1 |) \cdot 4}{4} + \frac{\ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

خطوة 5.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y + 1 |) \cdot 4 + \ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

خطوة 5.5

انقُل $4$ إلى يسار $\ln (| y + 1 |)$ .

$\frac{4 \ln (| y + 1 |) + \ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

خطوة 5.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $\frac{4 \ln (| y + 1 |) + \ln (| 4 x - 1 |)}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1

بسّط $4 \ln (| y + 1 |)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y + 1 |}^{4}) + \ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

خطوة 5.6.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y + 1 |}^{4}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\frac{\ln ({(y + 1)}^{4}) + \ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

خطوة 5.6.1.1.3

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |)}{4} = C$

خطوة 5.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln ({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |)}{4}$ بالصيغة $\frac{1}{4} \ln ({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |)$ .

$\frac{1}{4} \ln ({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |) = C$

خطوة 5.6.1.3

بسّط $\frac{1}{4} \ln ({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |)$ بنقل $\frac{1}{4}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |)}^{\frac{1}{4}}) = C$

خطوة 5.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على ${(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |$ .

$\ln ({({(y + 1)}^{4})}^{\frac{1}{4}} {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

خطوة 5.6.1.5

اضرب الأُسس في ${({(y + 1)}^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y + 1)}^{4 (\frac{1}{4})} {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

خطوة 5.6.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln ({(y + 1)}^{4 (\frac{1}{4})} {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

خطوة 5.6.1.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln ({(y + 1)}^{1} {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

خطوة 5.6.1.6

بسّط.

$\ln ((y + 1) {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

خطوة 5.6.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + 1 {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

خطوة 5.6.1.8

اضرب ${| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ في $1$ .

$\ln (y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

خطوة 5.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}})} = e^{C}$

خطوة 5.8

أعِد كتابة $\ln (y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$

خطوة 5.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C}$ .

$y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C}$

خطوة 5.9.2

اطرح ${| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ من كلا المتعادلين.

$y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} - {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$

خطوة 5.9.3

اقسِم كل حد في $y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} - {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ على ${| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1

اقسِم كل حد في $y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} - {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ على ${| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}} = \frac{e^{C}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}} + \frac{- {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.9.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}} = \frac{e^{C}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}} + \frac{- {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.9.3.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}} + \frac{- {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 5.9.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{e^{C} - {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C - {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}$