حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y (x - 1) d y + x (y - 1) d x = 0$

خطوة 1

اطرح $x (y - 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$y (x - 1) d y = - x (y - 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{y - 1}$ و $y$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $y - 1$ من $(x - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $y - 1$ من $x (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

خطوة 3.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x - 1} x d x$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{- 1}{x - 1}$ و $x$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- x}{x - 1} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{x}{x - 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم $y$ على $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

خطوة 4.2.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

خطوة 4.2.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y - 1$

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

خطوة 4.2.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

خطوة 4.2.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

خطوة 4.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

خطوة 4.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

خطوة 4.2.4

لنفترض أن $u_{1} = y - 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

افترض أن $u_{1} = y - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1.1

أوجِد مشتقة $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 4.2.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 4.2.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 4.2.4.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

خطوة 4.2.5

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

خطوة 4.2.6

بسّط.

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

خطوة 4.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x - 1} d x$

خطوة 4.3.2

اقسِم $x$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 4.3.2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 4.3.2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

خطوة 4.3.2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - 1$

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

خطوة 4.3.2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

خطوة 4.3.2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 4.3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

خطوة 4.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

خطوة 4.3.5

لنفترض أن $u_{2} = x - 1$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

افترض أن $u_{2} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 4.3.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.3.5.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.3.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.6

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5})$

خطوة 4.3.7

بسّط.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

خطوة 4.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| x - 1 |)) + C_{6}$

خطوة 4.3.9

طبّق خاصية التوزيع.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - x - \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y + \ln (| y - 1 |) = - x - \ln (| x - 1 |) + C$