حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x} d y = \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $x y^{2}$ .

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y^{2}$ .

$x (y^{2}) \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

خطوة 2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{2}$ .

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} d y = x e^{x^{2}} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لنفترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

افترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

خطوة 3.3.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

خطوة 3.3.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

خطوة 3.3.1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 3.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} u_{2} + C_{2}$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

خطوة 4.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

خطوة 4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

خطوة 4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط $3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{x^{2}}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)$

خطوة 4.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

خطوة 4.2.2.1.3

اجمع $3$ و $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

خطوة 4.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

خطوة 4.4

بسّط $\sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $\frac{3 e^{x^{2}}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

خطوة 4.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

خطوة 4.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)}$

خطوة 4.4.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

خطوة 4.4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

اجمع $K$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

خطوة 4.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + K \cdot 2}{2}}$

خطوة 4.4.4

انقُل $2$ إلى يسار $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}}$

خطوة 4.4.5

اجمع $3$ و $\frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$

خطوة 4.4.6

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

خطوة 4.4.7

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 4.4.8

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.8.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 4.4.8.2

ارفع $\sqrt[3]{2}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

خطوة 4.4.8.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

خطوة 4.4.8.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

خطوة 4.4.8.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.8.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 4.4.8.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 4.4.8.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 4.4.8.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.8.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 4.4.8.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

خطوة 4.4.8.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

خطوة 4.4.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.9.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

خطوة 4.4.9.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

خطوة 4.4.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.10.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

خطوة 4.4.10.2

اضرب $4$ في $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{2}$

خطوة 5

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + K)}}{2}$