حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} y = \frac{3}{2}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{2} d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{\frac{1}{2} x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{1}{2} x}$

خطوة 1.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$e^{\frac{x}{2}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{\frac{x}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} y) = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

خطوة 2.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} y = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ و $y$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

خطوة 2.3

اجمع $e^{\frac{x}{2}}$ و $\frac{3}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 3}{2}$

خطوة 2.4

انقُل $3$ إلى يسار $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{3 \cdot e^{\frac{x}{2}}}{2}$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y e^{\frac{x}{2}}}{2} = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}} y] = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}} y] d x = \int \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{\frac{x}{2}} y = \int \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u = \frac{x}{2}$ . إذن $d u = \frac{1}{2} d x$ ، لذا $2 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u = \frac{x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 6.2.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

خطوة 6.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

خطوة 6.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $e^{u}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int 2 e^{u} d u$

خطوة 6.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} (2 \int e^{u} d u)$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اجمع $2$ و $\frac{3}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2

اضرب $2$ في $3$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.3.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 \int e^{u} d u$

خطوة 6.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 (e^{u} + C)$

خطوة 6.7

بسّط.

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{u} + C$

خطوة 6.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{x}{2}} + C$

خطوة 6.9

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$ على $e^{\frac{x}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$ على $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} y}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{x}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} y}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{\frac{1}{2} x}$ و $e^{\frac{x}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

أخرِج العامل $e^{\frac{x}{2}}$ من $3 e^{\frac{1}{2} x}$ .

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.1.2.4

اقسِم $3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}}$ على $1$ .

$y = 3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $\frac{1}{2} x \cdot 2 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $\frac{1}{2} x \cdot 2$ .

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 1$ .

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 3 e^{\frac{x (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2.3

اطرح $1$ من $1$ .

$y = 3 e^{\frac{x \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.3

اضرب $x$ في $0$ .

$y = 3 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$y = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$y = 3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

خطوة 7.3.1.6

اضرب $3$ في $1$ .

$y = 3 + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$