حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y' \tan (x) = 2 y - 8$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ على $\tan (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ على $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

خطوة 2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

خطوة 2.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

خطوة 2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

افصِل الكسور.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

خطوة 2.1.3.1.2

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

خطوة 2.1.3.1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 2.1.3.1.4

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cot (x)$

خطوة 2.1.3.1.5

اقسِم $- 8$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

خطوة 2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{2 y}{\tan (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 8 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

خطوة 2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افصِل الكسور.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - 4 \cot (x))$

خطوة 2.2.2.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 4 \cot (x))$

خطوة 2.2.2.4

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cot (x) - 4 \cot (x))$

خطوة 2.2.2.5

اقسِم $y$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (y \cot (x) - 4 \cot (x))$

خطوة 2.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $\cot (x)$ من $y \cot (x) - 4 \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

أخرِج العامل $\cot (x)$ من $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y - 4 \cot (x))$

خطوة 2.2.3.1.2

أخرِج العامل $\cot (x)$ من $- 4 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4)$

خطوة 2.2.3.1.3

أخرِج العامل $\cot (x)$ من $\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) (y - 4))$

خطوة 2.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cot (x) (y - 4)$

خطوة 2.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} (2 \cot (x) (y - 4))$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

خطوة 2.4.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

خطوة 2.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أخرِج العامل $y - 4$ من $\cot (x) (y - 4)$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

خطوة 2.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

خطوة 2.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \cot (x)$

خطوة 2.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y - 4} d y = 2 \cot (x) d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int 2 \cot (x) d x$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لنفترض أن $u = y - 4$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

افترض أن $u = y - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

خطوة 3.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

خطوة 3.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

خطوة 3.2.1.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 \cot (x) d x$

خطوة 3.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y - 4$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \int \cot (x) d x$

خطوة 3.3.2

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{2})$

خطوة 3.3.3

بسّط.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y - 4 |) = 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = C$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y - 4 |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = C$

خطوة 4.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| \sin (x) |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| y - 4 |) - \ln (\sin^{2} (x)) = C$

خطوة 4.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x)}) = C$

خطوة 4.2.1.3

اضرب في $1$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = C$

خطوة 4.2.1.4

افصِل الكسور.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = C$

خطوة 4.2.1.5

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ إلى $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \csc^{2} (x)) = C$

خطوة 4.2.1.6

اقسِم $| y - 4 |$ على $1$ .

$\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$

خطوة 4.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x))} = e^{C}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة $\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - 4 | \csc^{2} (x)$

خطوة 4.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ .

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$

خطوة 4.5.2

اقسِم كل حد في $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ على $\csc^{2} (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

اقسِم كل حد في $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ على $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

خطوة 4.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\csc^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

خطوة 4.5.2.2.1.2

اقسِم $| y - 4 |$ على $1$ .

$| y - 4 | = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

خطوة 4.5.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

خطوة 4.5.4

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)} + 4$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \frac{C}{\csc^{2} (x)} + 4$

خطوة 5.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C \frac{1}{\csc^{2} (x)} + 4$