حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 3 x y = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 3 x y = 0$

خطوة 1.1.1.2

اضرب $\frac{d y}{d x}$ في $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y = 0$

خطوة 1.1.2

اطرح $3 x y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y$

خطوة 1.1.3.2

ارفع $\frac{d y}{d x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y$

خطوة 1.1.3.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 3 x y$

خطوة 1.1.3.4

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y$ على $x^{2} + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y$ على $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x y}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} y$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{3 x}{x^{2} + 1} y)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} y)$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} y)$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $y$ من $\frac{3 x}{x^{2} + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

خطوة 1.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3.4

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 2.3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.4.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.4.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 2.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.9

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

اجمع $\ln (| x^{2} + 1 |)$ و $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

خطوة 3.1.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.3

لكتابة $\ln (| y |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $\ln (| y |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط $\frac{2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\frac{\ln (y^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.3

بسّط $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

خطوة 3.6.1.1.4

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

خطوة 3.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln (y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

خطوة 3.6.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln (y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (y^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.6

بسّط.

$\ln (y {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

خطوة 3.6.1.7

اضرب الأُسس في ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

خطوة 3.6.1.7.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

خطوة 3.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

خطوة 3.9.2

اقسِم كل حد في $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ على ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

اقسِم كل حد في $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ على ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.9.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$