حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d y} + x = 2 y$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (y) d y}$ ، حيث $P (y) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int d y}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{y + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{y}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = e^{y} (2 y)$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$ .

$e^{y} \frac{d x}{d y} + x e^{y} = 2 y e^{y}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] = 2 y e^{y}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d y} [e^{y} x] d y = \int 2 y e^{y} d y$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{y} x = \int 2 y e^{y} d y$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{y} x = 2 \int y e^{y} d y$

خطوة 6.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{y}$ .

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y)$

خطوة 6.3

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - (e^{y} + C))$

خطوة 6.4

بسّط.

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ على $e^{y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ على $e^{y}$ .

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y}) + C}{e^{y}}$

خطوة 7.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{2 (y e^{y}) + 2 (- e^{y}) + C}{e^{y}}$

خطوة 7.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x = \frac{2 y e^{y} - 2 e^{y} + C}{e^{y}}$