حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

خطوة 1.1.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \cdot \frac{d y}{d x} + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

خطوة 1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 x (2 y) + 4 x \cdot 1 = 0$

خطوة 1.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x \cdot 1 = 0$

خطوة 1.1.1.4.2

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x = 0$

خطوة 1.1.1.5

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 8 x y + 4 x = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اطرح $4 x y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 8 x y + 4 x = - 4 x y^{2}$

خطوة 1.1.2.2

اطرح $8 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x = - 4 x y^{2} - 8 x y$

خطوة 1.1.2.3

اطرح $4 x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $2 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

خطوة 1.1.3.2

أخرِج العامل $\frac{d y}{d x}$ من $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

خطوة 1.1.4

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ على $x^{2} + 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ على $x^{2} + 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.1.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.1.2

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.2.1

أخرِج العامل $4 x$ من $- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.2.1.1

أخرِج العامل $4 x$ من $- 4 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.1.2

أخرِج العامل $4 x$ من $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) - 4 x}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.1.3

أخرِج العامل $4 x$ من $- 4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.1.4

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.1.5

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y - 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.2.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.2.2.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 (y) - 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.2.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $- 1$ زائد $- 1$

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} + (- 1 - 1) y - 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 1 y - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.2.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y^{2} - 1 y) - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (y (- 1 y - 1) + 1 (- y - 1))}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 1 y - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y - 1) (y + 1))}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- y - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.4

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.2.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.4.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1 (1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.4.4

أعِد كتابة $- (y + 1)$ بالصيغة $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.4.5

ارفع $y + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} (y + 1))}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.4.6

ارفع $y + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} {(y + 1)}^{1})}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.4.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{1 + 1}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.4.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.2.4.9

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.1.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (- \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ ${(y + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل ${(y + 1)}^{2}$ من $\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

خطوة 1.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y + 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 2.2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل ${u_{1}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 2.2.2.2

اضرب الأُسس في ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 2.2.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{1}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ بالصيغة $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 2.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 2.3.4

لنفترض أن $u_{2} = x^{2} + 2$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

افترض أن $u_{2} = x^{2} + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 2.3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.4.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.3.4.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 4$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.9

بسّط.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{y + 1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $- 2 \ln (| x^{2} + 2 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$

خطوة 3.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y + 1, 1, 1$

خطوة 3.2.2

احذِف الأقواس.

$y + 1, 1, 1$

خطوة 3.2.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$y + 1$

خطوة 3.3

اضرب كل حد في $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ في $y + 1$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ في $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y + 1}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

خطوة 3.3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

احذِف القيمة المطلقة في ${| x^{2} + 2 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

خطوة 3.3.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) \cdot 1 + C (y + 1)$

خطوة 3.3.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C (y + 1)$

خطوة 3.3.3.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C \cdot 1$

خطوة 3.3.3.1.5

اضرب $C$ في $1$ .

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

خطوة 3.3.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$ .

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

خطوة 3.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$ .

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$

خطوة 3.4.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) = - C y - C - 1$

خطوة 3.4.3

أضف $C y$ إلى كلا المتعادلين.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1$

خطوة 3.4.4

أضف $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ إلى كلا المتعادلين.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

خطوة 3.4.5

أخرِج العامل $y$ من $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أخرِج العامل $y$ من $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

خطوة 3.4.5.2

أخرِج العامل $y$ من $C y$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

خطوة 3.4.5.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

خطوة 3.4.6

أعِد كتابة $- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ بالصيغة $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

خطوة 3.4.7

اقسِم كل حد في $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ على $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

اقسِم كل حد في $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ على $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

خطوة 3.4.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 3.4.7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

خطوة 3.4.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

خطوة 3.4.7.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

خطوة 3.4.7.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- C - 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

خطوة 3.4.7.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

خطوة 3.4.7.3.2.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- C - 1 (1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

خطوة 3.4.7.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- C - 1 (1)$ .

$y = \frac{- (C + 1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

خطوة 3.4.7.3.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y = \frac{- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

خطوة 3.4.7.3.2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ .

$y = \frac{- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

خطوة 3.4.7.3.2.7

أعِد كتابة $- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ بالصيغة $- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

خطوة 3.4.7.3.2.8

أخرِج العامل $- 1$ من $C$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)}$

خطوة 3.4.7.3.2.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

خطوة 3.4.7.3.2.10

أعِد كتابة $- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ بالصيغة $- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

خطوة 3.4.7.3.2.11

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

خطوة 3.4.7.3.2.12

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$