حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x^{2})$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = x \cos (x^{2}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x \cos (x^{2}) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x \cos (x^{2}) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (u) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + K$