حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = - b y (t)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $b y t$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d t} + b y t = 0$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d y}{d t} + b t y = 0$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = b t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int b t d t}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $b t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $b$ خارج التكامل.

$e^{b \int t d t}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{b (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $b (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ بالصيغة $b \frac{1}{2} t^{2} + C$ .

$e^{b \frac{1}{2} t^{2} + C}$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اجمع $b$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2} + C}$

خطوة 2.2.3.2.2

اجمع $\frac{b}{2}$ و $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2} + C}$

$e^{\frac{1}{2} b t^{2} + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{1}{2} b t^{2}}$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $b$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2}}$

خطوة 2.5

اجمع $\frac{b}{2}$ و $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = e^{\frac{b t^{2}}{2}} \cdot 0$

خطوة 3.2

اضرب $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ في $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + (b t) y e^{\frac{b t^{2}}{2}} = 0$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] = 0$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] d t = \int 0 d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = \int 0 d t$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

تكامل $0$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = 0 + C$

خطوة 7.2

أضف $0$ و $C$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ على $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ على $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$