حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (\sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x + \int - e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int - e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - \int e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

خطوة 2.3.4

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.4.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.4.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - \int - e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - - \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + 1 \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $\int e^{u} d u$ في $1$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

خطوة 2.3.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + \int 8 x^{3} d x$

خطوة 2.3.8

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 \int x^{3} d x$

خطوة 2.3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{4})$

خطوة 2.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{4})$

خطوة 2.3.10.2

بسّط.

$y + C_{1} = - \cos (x) + e^{u} + 2 x^{4} + C_{5}$

خطوة 2.3.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + e^{- x} + 2 x^{4} + C_{5}$

خطوة 2.3.12

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = 2 x^{4} + e^{- x} - \cos (x) + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 2 x^{4} + e^{- x} - \cos (x) + K$