حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + 1) d x + (y - 3) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(x + 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$(y - 3) d y = - (x + 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int - (x + 1) d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - (x + 1) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x - 1 \cdot 1 d x$

خطوة 2.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x - 1 d x$

خطوة 2.3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - \int x d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

خطوة 3.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = - \frac{x^{2}}{2} - x + K$

خطوة 3.3

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أضف $\frac{x^{2}}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} = - x + K$

خطوة 3.3.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} + x = K$

خطوة 3.3.3

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} + x - K = 0$

خطوة 3.4

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $2$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $- 3$ في $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} - 6 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} - 6 y + x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y^{2} - 6 y + x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

خطوة 3.4.3

انقُل $- 6 y$ .

$y^{2} + x^{2} + 2 x - 2 K - 6 y = 0$

خطوة 3.4.4

انقُل $2 x$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 K + 2 x - 6 y = 0$

خطوة 3.4.5

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 x - 6 y = 0$

خطوة 3.5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.6

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 6$ و $c = x^{2} - 2 K + 2 x$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.4.1

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} + 8 K - 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.4.2

اضرب $2$ في $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5

أخرِج العامل $4$ من $36 - 4 x^{2} + 8 K - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) - 4 x^{2} + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.3

أخرِج العامل $4$ من $8 K$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 4 (2 K) - 8 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.4

أخرِج العامل $4$ من $- 8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.5

أخرِج العامل $4$ من $4 (9) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.6

أخرِج العامل $4$ من $4 (9 - x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2} + 2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.7

أخرِج العامل $4$ من $4 (9 - x^{2} + 2 K) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.6

أعِد كتابة $4 (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)$ بالصيغة $2^{2} (3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.6.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.8

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2}$

خطوة 3.7.3

بسّط $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

خطوة 3.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + K - 2 x}$