حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = e^{2 t} - 2 y$ , $y (1) = 2$

خطوة 1

أضف $2 y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d t} + 2 y = e^{2 t}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 d t}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{2 t + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 t}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} e^{2 t}$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} e^{2 t}$

خطوة 3.3

اضرب $e^{2 t}$ في $e^{2 t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t + 2 t}$

خطوة 3.3.2

أضف $2 t$ و $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{4 t}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{4 t}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{4 t} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{2 t} y = \int e^{4 t} d t$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لنفترض أن $u = 4 t$ . إذن $d u = 4 d t$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

افترض أن $u = 4 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

أوجِد مشتقة $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

خطوة 7.1.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $4 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 7.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 7.1.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

خطوة 7.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

خطوة 7.3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

خطوة 7.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

خطوة 7.5

بسّط.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{u} + C$

خطوة 7.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ على $e^{2 t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ على $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{4 t}$ و $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $e^{2 t}$ من $\frac{1}{4} e^{4 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{2 t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{1}{4} e^{2 t}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 8.3.1.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{2 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

خطوة 9

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $t$ وبـ $2$ عن $y$ في $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$2 = \frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$ .

$\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

خطوة 10.2

بسّط $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

خطوة 10.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2}} = 2$

خطوة 10.3

اطرح $\frac{e^{2}}{4}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{C}{e^{2}} = 2 - \frac{e^{2}}{4}$

خطوة 10.4

اضرب كلا المتعادلين في $e^{2}$ .

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

خطوة 10.5

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

خطوة 10.5.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$C = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

خطوة 10.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

بسّط $e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$C = e^{2} \cdot 2 + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

خطوة 10.5.2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

خطوة 10.5.2.1.3

اضرب $e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1.3.1

اجمع $e^{2}$ و $\frac{e^{2}}{4}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2} e^{2}}{4}$

خطوة 10.5.2.1.3.2

اضرب $e^{2}$ في $e^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1.3.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2 + 2}}{4}$

خطوة 10.5.2.1.3.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

$C = 2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

خطوة 11

عوّض بـ $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ عن $C$ في $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

خطوة 11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

لكتابة $2 e^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

خطوة 11.2.1.2

اجمع $2 e^{2}$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

خطوة 11.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4 - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

خطوة 11.2.1.4

اضرب $4$ في $2$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

خطوة 11.2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

خطوة 11.2.3

اضرب $\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}$ في $\frac{1}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

خطوة 11.3

لكتابة $\frac{e^{2 t}}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} \cdot \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

خطوة 11.4

اضرب $\frac{e^{2 t}}{4}$ في $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

خطوة 11.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

خطوة 11.6

اضرب $e^{2 t}$ في $e^{2 t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{e^{2 t + 2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

خطوة 11.6.2

أضف $2 t$ و $2 t$ .

$y = \frac{e^{4 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$