حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{1 + x}$ , $y (0) = 7$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{8}{1 + x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{8}{1 + x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{8}{1 + x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1 + x} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 1 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 1 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 8 (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + C_{1} = 8 \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x$ .

$y + C_{1} = 8 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = 8 \ln (| 1 + x |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $7$ عن $y$ في $y = 8 \ln (| 1 + x |) + C$ .

$7 = 8 \ln (| 1 + 0 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $8 \ln (| 1 + 0 |) + C = 7$ .

$8 \ln (| 1 + 0 |) + C = 7$

خطوة 4.2

بسّط $8 \ln (| 1 + 0 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ و $0$ .

$8 \ln (| 1 |) + C = 7$

خطوة 4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$8 \ln (1) + C = 7$

خطوة 4.2.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$8 \cdot 0 + C = 7$

خطوة 4.2.2.3

اضرب $8$ في $0$ .

$0 + C = 7$

خطوة 4.2.3

أضف $0$ و $C$ .

$C = 7$

خطوة 5

عوّض بـ $7$ عن $C$ في $y = 8 \ln (| 1 + x |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $7$ .

$y = 8 \ln (| 1 + x |) + 7$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $8 \ln (| 1 + x |)$ بنقل $8$ داخل اللوغاريتم.

$y = \ln ({| 1 + x |}^{8}) + 7$

خطوة 5.2.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| 1 + x |}^{8}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \ln ({(1 + x)}^{8}) + 7$