حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ على $4 x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ على $4 x y$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.1.2.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لكتابة $\frac{x}{4 y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4 y x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب $\frac{x}{4 y}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 y x} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد ترتيب عوامل $4 y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

خطوة 1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{4 x y}$

خطوة 1.2.4

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ في $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $y$ من $4 x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

اقسِم $x^{2} + 1$ على $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 2.3.2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

خطوة 2.3.2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

خطوة 2.3.2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

خطوة 2.3.2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

خطوة 2.3.2.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

خطوة 2.3.2.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |)) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اجمع.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\ln (| x |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.5.1

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.5.2

اضرب $4$ في $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{8} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (4)} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 (2)} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 \cdot 2} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (| x |)}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} \ln (| x |) + 2 C}$

خطوة 3.4.1.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}$

خطوة 3.4.2

لكتابة $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{4}{4} + 2 C}$

خطوة 3.4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

خطوة 3.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

خطوة 3.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اضرب $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.1

أعِد ترتيب $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ و $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{4} + 2 C}$

خطوة 3.4.4.1.2

بسّط $4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4})}{4} + 2 C}$

خطوة 3.4.4.2

اضرب الأُسس في ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 4})}{4} + 2 C}$

خطوة 3.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})}{4} + 2 C}$

خطوة 3.4.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})}{4} + 2 C}$

خطوة 3.4.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{2})}{4} + 2 C}$

خطوة 3.4.4.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C}$

خطوة 3.4.5

لكتابة $2 C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C \cdot \frac{4}{4}}$

خطوة 3.4.6

اجمع $2 C$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + \frac{2 C \cdot 4}{4}}$

خطوة 3.4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C \cdot 4}{4}}$

خطوة 3.4.8

اضرب $4$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}}$

خطوة 3.4.9

أعِد كتابة $\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.9.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{4}}$

خطوة 3.4.9.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}}$

خطوة 3.4.9.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}$

خطوة 3.4.10

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$

خطوة 3.4.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$