حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{3} + y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} + y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + 0$

خطوة 1.6

أضف $3 y^{2} + 1$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x y^{2} - x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 3 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1 \cdot 1$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 y^{2} + 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3 y^{2} + 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2}) - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.2.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.2.3

أضف $3 y^{2}$ و $3 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} + 1 - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{6 y^{2} - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.2.5

أخرِج العامل $2$ من $6 y^{2} - 2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $6 y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.2.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.2.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.2.5.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 y^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.2.5.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

خطوة 4.3.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

خطوة 4.3.3.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $3 y^{2} - x + 1$ و $x - 3 y^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $3 y^{2}$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

خطوة 4.3.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - (x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

خطوة 4.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (- 3 y^{2}) - (x)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

خطوة 4.3.4.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

خطوة 4.3.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

خطوة 4.3.4.6

أعِد كتابة $- (- 3 y^{2} + x - 1)$ بالصيغة $- 1 (- 3 y^{2} + x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

خطوة 4.3.4.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

خطوة 4.3.4.8

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

خطوة 4.3.4.9

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

خطوة 4.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

خطوة 4.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y^{3} + y + 1$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(y^{3} + y + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $y^{3} + y + 1$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5.2

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5.3

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $y^{3} + y + 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y^{3} + y + 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 8.2

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 8.3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 8.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{- 2} d x$

خطوة 8.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$

خطوة 8.5

أعِد كتابة $(y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$ بالصيغة $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $- \frac{1}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} + y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$- \frac{1}{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.3.6

أضف $3 y^{2} + 1$ و $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{x} (3 y^{2}) - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.5.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.5.2.3

اجمع $\frac{- 3}{x}$ و $y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.5.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.5.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} - \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - (x - 3 y^{2} - 1)}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x - (- 3 y^{2}) - - 1}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.2.1

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} - - 1}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

أضف $- 3 y^{2}$ و $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 0 + 1}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $- 1 - x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 1}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.4.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.4.4

أضف $- x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 1$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $1$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

خطوة 13.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = y + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + y + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = y^{3} (- \frac{1}{x}) + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

خطوة 15.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

خطوة 15.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

خطوة 15.2.3

اضرب $- \frac{1}{x}$ في $1$ .

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

خطوة 15.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

خطوة 15.3.2

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - \frac{y}{x} - \frac{1}{x} + y + C$