حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin (x^{2})$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \sin (x^{2})$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x^{2})$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (x)}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x^{2})$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x^{2})$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x^{2})$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x^{2}) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x y = \int x \sin (x^{2}) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لنفترض أن $u = x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

افترض أن $u = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 7.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x y = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 7.2

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x y = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

خطوة 7.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x y = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

خطوة 7.4

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط.

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

خطوة 7.5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (u)$ .

$x y = - \frac{\cos (u)}{2} + C$

خطوة 7.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$x y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

خطوة 7.7

أعِد ترتيب الحدود.

$x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ على $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

اجمع $\cos (x^{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (x^{2})}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3.1.3

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{\cos (x^{2})}{2}$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{x \cdot 2} + \frac{C}{x}$

خطوة 8.3.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2 x} + \frac{C}{x}$